fr | en

Séparés par des virgules

Visioconférence | Soutenance de thèse de Madame Sofia TARRICONE

10h00 (heure de Montréal) 16h00 (heure de Paris | Concordia University | Department of Mathematics and Statistics | MONTRÉAL | CANADA

Sujet : The Painlevé II hierarchy : geometry and applications

Directeur de thèse : Monsieur Mattia CAFASSO

RÉSUMÉ

La hiérarchie de Painlevé II est une séquence d’équations différentielles ordinaires non linéaires, dont la première correspond à l’équation de Painlevé II. Chaque membre de la hiérarchie admet une paire de Lax en termes des déformations isomonodromiques d’un système linéaire d’EDO de rang 2, avec coefficient polynomial dans le cas homogène. Récemment, il a été prouvé que la formule de Tracy-Widom pour la solution Hastings-McLeod de l’équation de PII homogène peut être généralisé pour des solutions analogues de la hiérarchie de Painlevé II homogène, en utilisant le déterminant de Fredholm des noyaux d’Airy d’ordre supérieur. Leurs opérateurs intégraux sont utilisés en théorie des processus déterminantaux et ils ont des applications en physique statistique et en théorie des matrices aléatoires. En partant de ces considérations, cette thèse a exploré les directions suivantes. On a trouvé une formule à la Tracy-Widom qui relie des analogues à valeurs matricielles des noyaux d’Airy d’ordre supérieur à certaines solutions d’une hiérarchie de Painlevé II matricielle. Pour cela on a utilisé un problème de Riemann-Hilbert à valeurs matriciels et en utilisant sa solution on a dérivé une paire de Lax pour la hiérarchie. On a aussi trouvé une autre généralisation de la formule de Tracy-Widom, où cette fois ci le déterminant de Fredholm d’une version à température finie des noyaux d’Airy d’ordre supérieur est liée à certaines solutions d’une hiérarchie de PII intégro-différentielle. Dans ce cas, on a plutôt utilisé un problème de Riemann Hilbert à valeurs opératoriels. Sa solution permet de construire une paire de Lax pour cette nouvelle hiérarchie. D’un point de vue plus géométrique, on a étudié la structure de Poisson-symplectique des variétés de Stokes associées à un système de équations différentielles ordinaires linéaires avec coefficient polinomial. Dans le cas de rang 2, on a trouvé des coordonnés log-canoniques explicites pour la 2-form symplectique, formant une algèbre amassée d’un type précis. Cette construction permet de linéariser la structure de Poisson introduite par Flaschka et Newell dans leur travail fondateur en 1981.

Télécharger l'avis de soutenance de thèse

Scroll